正态分布是统计学中非常重要的一个概率分布，它广泛应用于各个领域，如自然科学、社会科学、医学、工程等，在高中阶段，我们主要学习正态分布的三个基本公式，它们分别是：
1、标准正态分布的概率密度函数
2、标准正态分布的累积分布函数
3、标准正态分布的逆累积分布函数
本文将详细介绍这三个公式的含义、推导过程以及如何在实际问题中应用。
标准正态分布的概率密度函数
标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布，其概率密度函数为：
f(x) = (1 / √(2πσ²)) * e^(-(x - μ)² / (2σ²))
μ为均值，σ为标准差，这个公式表示了在标准正态分布曲线上，任意一点x处的概率密度。
标准正态分布的累积分布函数
标准正态分布的累积分布函数（CDF）表示随机变量X在区间(-∞, x)内的概率，其表达式为：
P(X ≤ x) = ∫[从-∞到x] (1 / √(2πσ²)) * e^(-(t - μ)² / (2σ²)) dt
累积分布函数可以用来计算正态分布变量在某个区间内的概率，P(X ≤ 1)表示随机变量X小于等于1的概率。
标准正态分布的逆累积分布函数
标准正态分布的逆累积分布函数（Inverse CDF）是指将累积分布函数求逆得到的一个函数，它将标准正态分布在某个区间内的概率转化为对应的z值，其表达式为：
P(Z ≤ z) =Φ(z)
Φ(z)表示标准正态分布的累积分布函数，逆累积分布函数可以用来查找标准正态分布在某个概率区间内的z值，P(Z ≤ 0.95)表示标准正态分布在0.95的概率内的z值。
在实际问题中，正态分布的三个公式有着广泛的应用，以下是一些例子：
例1：某厂生产的产品质量服从正态分布，均值为10，标准差为2，求产品质量在9到11之间的概率。
解：首先将问题转化为标准正态分布问题，将原始分布的标准差σ转化为1，得到标准正态分布的均值μ和标准差σ，然后利用累积分布函数计算概率。
P(9 ≤ X ≤ 11) = P((9 - 10) / 2 ≤ Z ≤ (11 - 10) / 2) = P(-0.5 ≤ Z ≤ 0.5)
利用标准正态分布的累积分布函数表，查得P(Z ≤ 0.5) = 0.6915，P(Z ≤ -0.5) = 0.3085。
P(9 ≤ X ≤ 11) = P(Z ≤ 0.5) - P(Z ≤ -0.5) = 0.6915 - 0.3085 = 0.383
例2：某地成年男子的身高服从正态分布，均值为175cm，标准差为5cm，求该地成年男子身高在170cm以下的概率。
解：同样将问题转化为标准正态分布问题，将原始分布的标准差σ转化为1，得到标准正态分布的均值μ和标准差σ，然后利用累积分布函数计算概率。
P(X < 170) = P((170 - 175) / 5 < Z < (170 - 175) / 5) = P(-1 < Z < -1)
利用标准正态分布的累积分布函数表，查得P(Z < -1) = 0.1587。
P(X < 170) = P(Z < -1) = 0.1587
通过以上例子，我们可以看到正态分布的三个公式在实际问题中的重要性，掌握这三个公式，可以帮助我们更好地理解和解决与正态分布相关的问题。